métrologie la relation     PI/sin1

Boris RYBAK           Paris france Emeritus Universite Paris Sorbonne

La mesure rigoureuse des arcs et des angles est rendue difficile par la transcendence des nombres qui y participent. Ainsi, le rapport considéré entre Pi et sin1 débouche sur la valeur 180,0091388..., soit la forme sexagésimale primaire de Pi pour sa valeur arithmétique 3.141592 653... On notera d'abord qu'avec la valeur arrondie 180 d'usage, 180 x sin1 = 3,141433158... soit une valeur de Pi avec seulement 3 chiffres décimaux corrects. On notera ensuite que la valeur conforme du rapport PI / sin1 est indépendante du système d'unité de mesure des arcs puisque, en grades, l'opération effectuée fournit 200,0082249..., ce qui est évidemment conforme à la valeur référentielle de Pi comme l'est aussi la conversion en radians puisque, en ne s'en tenant pas à 1 ° = 3,141592653.../ 180, qui déterminerait 1,745329252...10-2, mais en posant l'opération 3,141592653.../180,0091388... on obtient 1,74524064...10-2 qui est un nombre remarquable puisque valeur de sin 1. Inversement, si on s'en tient à 1 radian = 180/Pi on obtient 57,2957795... alors que l'opération 180,0091388.../ 3,141592653... fournit 57,29868849... qui équivaut à 1/sin1 , et à I radian (et non 57,295778 qui fournit 179,999995247... si x n). Le tableau ci-contre présente les calculs (faits à la "HP 20 S") de contrôles comparatifs en partant de la relation 1/sin1 pour les équivalences en degrés, grades et radians.

Pour une métrologie fine qui veut exclure au mieux l'objection ordinale que soulève la validité des calculs approchés, il faut systématiquement rechercher les valeurs pertinentes minimales de Pi, ce que je nommerai la stabilité de Pi nécessaire donc à une conformité métrique. Ainsi des calculs de PI/sin1 1, avec sin 1 = constante en degrés et avec Pi allant de 3,14 à 3,141592653 : on constate qu'il faut utiliser Pi avec au moins les 6 premières décimales conformes. En effet, avec Pi = 3,14159 on obtient 180,0089868... et c'est pour Pi = 3,141592 que l'on obtient 180,0091014... où 91 se maintiendra dans les calculs, effectués avec des valeurs arithmétiques suffisamment acceptables dans des cas assez nombreux en pratique.

Ainsi, dans l'espace en R3, si l'infinitésimal de décimalisation poussée peut être négligé dans les calculs approximatifs aux petites distances, il faut en tenir compte dans les mesures extrémales. Cette valeur de Pi efficace (Pi eff) comme je la nommerai doit être notamment considérée en astronomie où des termes mathématiques de types multiplicatif et exponentiatif de Pi sont fréquemment utilisés. Pour le choix de la valeur arithmétique de Pi, tout dépend en définitive de la précision des métriques expérimentales dans l'état présent de l'Art et il faut, dans chaque cas, évaluer préalablement le nombre efficace de décimales pour réduire l'erreur relative.

in 1988 RBM Vol 10 N°6 p293

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